Двухмерная графика

Математические основы векторной графики

Если основным элементом растровой графики является пиксел (точка), то в слу-чае векторной графики в роли базового элемента выступает линия. Это связано с тем, что в векторной графике любой объект состоит из набора линий, соединен-ных между собой узлами. Как уже отмечалось в предыдущем разделе, отдельная линия, соединяющая соседние узлы, называется сегментом (в геометрии ей соответствует отрезок).

Сегмент может быть задан с помощью уравнения прямой или уравнения кривой линии, требующих для своего описания разного количества па-раметров. Для более полного понимания механизма формирования векторных объектов рассмотрим способы представления основных элементов векторной гра-фики: точки} прямой линии у отрезка прямой, кривой второго порядка, кривой тре-тьего порядка, кривых Безъе.

В векторной графике точке соответствует узел. На плоскости этот объект пред-ставляется двумя числами (X, Y), задающими его положение относительно нача-ла координат.
Для описания прямой линии используется уравнение Y = аХ + Ь. Поэтому для по-строения данного объекта требуется задание всего двух параметров: а и Ь. Результатом будет построение бесконечной прямой в декартовых координатах.
В отличие от прямой, отрезок прямой требует для своего описания двух допол-нительных параметров, соответствующих началу и концу отрезка.

К классу кривых второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы и окружности, то есть все линии, уравнения которых содержат переменные в степени не выше второй. В векторной графике эти кривые используется для построения базовых форм (примитивов) в виде эллипсов и окружностей. Кривые второго порядка не имеют точек перегиба. Используемое для описания этих кривых каноническое уравнение требует для своего задания пяти параметров:
х2 + aiy2 + а2ху + а3х + а4у + а5 = 0. (числа - степени)

Для построения отрезка кривой требуется задать два дополнительных параметра.

В отличие от кривых второго порядка кривые третьего порядка могут иметь точку перегиба. Например, график функции Y = Х3 имеет точку перегиба в начале координат (0, 0). Именно эта особенность данного класса функций позво-ляет использовать их в качестве основных кривых для моделирования различных природных объектов в векторной графике. Следует отметить, что упомянутые ранее прямые и кривые второго порядка являются частным случаем кривых третьего порядка.

Каноническое уравнение, используемое для описания уравнения третьего поряд-ка, требует для своего задания девяти параметров:
х3 + aiy3 + а2х2у + а3ху2 + а4х2 + а5у2 + а6ху + а7х + а8у + а9 = 0. (числа - степени)

Для описания отрезка кривой третьего порядка требуется на два параметра больше. Кривые Безье - это частный вид кривых третьего порядка, требующий для своего описания меньшего количества параметров - восьми вместо одиннадцати. В основе построения кривых Безье лежит использование двух касательных, проведенных к крайним точкам отрезка линии. На кривизну (форму) линии влияет угол наклона и длина отрезка касательной, значениями которых можно управлять в интерактивном режиме путем перетаскивания их концевых точек. Таким образом, касательные выполняют функции виртуальных рычагов, позволяющих управлять формой кривой. Более подробно об этом будет сказано далее в разделе "Кривые Безье".